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作者：杨婉雨
周杰伦在《不能说的秘密》里斗琴片段让人印象深刻，不禁让我思考钢琴是如何发出这么美妙的声音的。
《不能说的秘密》片段
钢琴的结构及其发声原理
被誉为“乐器之王”的钢琴音色不同于其他任何乐器。如果仅仅是聆听，听者可能永远都猜不到它是如何发声的。
像在肖邦的《f小调第二钢琴协奏曲》中，充分使钢琴表现出像弦乐器一样具有呼吸的良好“歌唱”能力。而听一听像巴托克这样的作曲家的音乐，你会经常听到钢琴敲击的声音，就像敲鼓一样。
其实钢琴可以看做是两种不同的乐器合二为一：一方面它是弦乐器，因为声音是由琴弦振动而发出的；但同时它也是一种打击乐器(像编磬)，因为当琴弦被敲击时，就会发出敲击的声音。
那么含有6000多个精密部件的钢琴究竟是怎么发声的呢？事实上，对钢琴音色其决定作用的部件是琴弦、音板和脚踏板。
钢琴琴弦
现代钢琴总共有88个键，包含7个完整的8度音阶。高音区的每个键后面都连着三根弦，中音区的每个键后面都连着两根弦，低音区的每个键后面都连着一根弦。
基音越高（基频越高）对应的琴弦越短越细，基音越低（基频越低）对应的琴弦越长越粗。基频是指弦振动最低的固有频率，而这样频率的振动发出的音就是基音。
钢琴的简化结构
从发声部件来讲，钢琴可归结为弦乐器的一种，由弦槌敲击琴弦而发声，中间应用了杠杆原理。
当按下琴键时，控制杆的另一端(在琴盒里)就会弹起，迫使包裹着羊毡的弦槌迅速向上敲击琴弦而发音。与此同时，在锤杠杆的末端，另一个叫做阻尼器的机械部件也被向上推起。当琴键松开时，弦槌和阻尼器回落。阻尼器安装在琴弦的顶部，主要用来抑制琴弦的振动，迫使音符迅速结束。
琴弦的振动模式
琴弦的振动可以简化成一维模型，弦槌敲击琴弦后，琴弦进入自由振动状态。
假设琴弦是两端固定的（事实上不可能完全固定），且假设的时间内弦在击弦点处受到一个常力F的作用，其振动方程为：
考虑到边界条件：
得到弦振动的解为
可以看到，弦的自由振动包含了多阶振动模式。下图是琴弦前三阶振动的主振型
琴弦前三阶振动主振型
琴弦振动的各阶频率为
其中，i为弦长，T为弦的张力，μ为弦的线密度。当n=1时，f₁是弦振动最低的固有频率，也就是弦的基频，其余的高次频率称为泛频，它们都为基频的整数倍，因而也称具有这样简单关系的固有频率为谐频。弦振动时激发的固有频率都是谐频，所以弦乐器一般听起来音色都是和谐的。
钢琴音板的作用
钢琴音板在钢琴中占有十分重要的地位。在钢琴6000多个部件中，音板是决定音色优劣、音量大小和发音持久与否的关键。
钢琴音板
由于一般弦很细，其振动所辐射的声能量效率很低，因此琴弦会通过码桥将自身的振动的能量传给面积较大的音板，以提高其声能量辐射效率。当琴弦振动时音板也随之振动(共振)，使琴弦对应频率的振型得到充分表达。
音板属于连续弹性薄板，受到激励后会产生相应的振动。当琴弦在竖直平面时横向振动时，钢琴音板将受到由码桥传给它的垂直力和纵向力矩的共同激励，可以激发出更多的振型从而产生更丰富的谐音。
演奏时，当手指按下琴键，琴弦会产生一个脉冲力T(t)，这一脉冲通过码桥作用到音板上，会使音板受到一个大小与T(t)成正比的垂直脉冲力激励，同时还受到一个脉冲力矩激励。
根据板的振动理论，音板存在无穷多个相互独立的振动模态。但事实上只有固有频率在脉冲力T(t)频谱主瓣宽度内的振动模态才足够强烈，而固有频率在频谱主瓣宽度外的振动模态由于能量太小，通常被忽略不计。
当T(t)脉冲结束后，琴弦及音板的高阶振动快速衰减，琴弦快速进入到以基频为主的、在竖直平面内的阻尼自由横向振动状态。而对音板来说，只有与琴弦2倍基频相等或相近频率对应的振型才能得到持续激励并发音，直到琴弦停止振动为止。
踏板的运用是钢琴演奏的灵魂
钢琴踏板
左踏板名为“Una Corda”，即弱音踏板。大多数音键都附在两到三根琴弦上。左踏板可以使弦槌向旁边移动，这样弦槌只能敲击一两个琴弦，发出柔和的声音。有些低音键只连在一根弦上。在这种情况下，踏板会使弦槌产生位移，就会用弦槌的边缘击打琴弦。
右踏板名为“Sustain Pedal”，即延音踏板。当用脚踩下延音踏板，所有的阻尼器都会被抬起，演奏的每一个音符都会继续发出声音，即使停止按下按键。延音踏板可以创造一个美妙的，共振的声音，因为它可以让音符混合在一起，但如果一次性有太多的音符声音会变得混浊。这就是为什么钢琴家通常用延音踏板的时候一次只按下几个音符，然后抬起他们的脚来降低阻尼器，在再次按下踏板之前清除声音。
中间踏板名为“Sostenuto Pedal”，是现代钢琴的最后一个附加部件。现在，它主要出现在美国的三角钢琴上，但并不被认为是标准的补充，因为它很少被使用。当该踏板被踩下时，使得被选择的琴弦上的阻尼器处于关闭状态，就可延长该音的时间。
瞧这优雅的手指，啧啧！
当然，钢琴的音色除了决定于乐器本身的构造外，还与弹奏的方式有关。演奏者敲击琴键时，对于发力的把握，包括手指触键的方向，力的大小及作用点等对钢琴音色都有着极大的影响，在这里就不进行详细的阐述了。
利用matlab编程模拟钢琴乐声
通过对钢琴的结构及发声原理的分析，可以对钢琴乐音进行仿真。
根据上一节的分析可知，琴弦振动为激励，音板起到共振的作用，因此仿真模型由激励系统和共振系统两部分组成（由于踏板运用较为复杂，在这里暂时不进行模拟）。
激励系统以琴弦振动方程为基础。
琴弦振动前四阶主振型
在前文中，已得到弦振动方程的解，且基频。如果知道每个音符对应的基频，就可以知道其对应各个谐波的频率。
音符的基频可以通过查阅音律相关文献获取。钢琴使用的是十二平均律，又称“十二等程律”。
钢琴键盘与大谱表对照表
十二平均律将一个纯八度（如c1-c2）平均分成十二等份，每等分称为半音，是当代音乐常用的调音法。
国际标准音规定，钢琴的a1（小字一组的a音）的频率是为440Hz；又规定每相邻半音的频率比值为2^(1/12)≈1.059463。根据这规定，就可以得出钢琴上每一个琴键音的频率。如与a1右边相邻#a1的频率是440×1.059463=466.16372Hz。
知道了音符的基频，再结合上文分析的钢琴发声原理，就可以用matlab模拟钢琴的声音了。
为了探索如何模拟钢琴音，先在MATLAB中生成一个与钢琴a1音基频相同的理想谐频音，这个谐频音由理想弦振动的多个模态叠加而成，其0~0.02s时间段内的时域图如下图所示。
理想弦振动下钢琴a1音的时域图
理想的弦振动是一种没有衰减的正弦波叠加曲线，但实际上，受到材料、边界条件、外部阻力等因素的影响，琴弦受迫振动后会发生衰减，它的振幅随时间的推移而变得越来越小。
衰减的特性可以用时域包络来描述，时域包络体现了乐音在演奏过程中振幅随时间的变化。
最常见的包络4个基本参数，即ADSR：上升速率（Attack Rate），下降速率（Decay Rate），保持电平（Sustain Level）和释放速率（Release Rate）。每种乐器都有其独特的音色，对应着不同的时域包络。下图是真实钢琴a1音的时域图。
钢琴a1音的时域图
下面的音频是实录的钢琴a1音，大家可以感受一下。
可以听到，这个音饱满，有一定的起伏，并且随着时间减弱，减弱的部分，就可以用时域包络来实现。
对于钢琴音的时域包络，可以利用函数y=t^a/e^(kt)拟合得到,该函数如下图所示。
自定义时域包络
钢琴琴弦的音调是由琴弦的振动频率决定的，并由琴弦和音板的共振而增强声波和丰富音色的。而频谱的包络中包含着主要的音色信息。因此，对于音板的作用可以体现在乐音频谱包络的形状上。
钢琴a1音的频域图
利用倒谱法对频谱进行包络的提取，倒谱定义为信号频谱取对数后的傅里叶反变化。这样，可以将提取到的包络作为共振系统的频率响应，乐音构造也就完成了。下图是最终构造的钢琴a1音的时域图。
构造的a1音的时域图
用matlab构造的钢琴a1音音频如下，听起来几乎已经与真实的a1音完全一致了。
以上是用matlab模拟钢琴发音的简单思路，至于详细的步骤，请等我们下篇文章的详细版教程。
文章的最后就请欣赏下用matlab编写的《月半小夜曲》
下期预告：手把手教你用matlab演奏乐曲
参考文献
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