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发表于
2024-11-11 18:35:53
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IP:云南昆明
这是一个波长为2π的锯齿波，乍一看除了周期性以外和正弦波没有什么相似的地方。它是怎么由各种正弦波叠加出来的呢？
由数学中傅里叶级数的理论，可推知这个波形的傅里叶级数表达式为（各位学过高数或数分或其他微积分课程的同学应该都会推导）：
其中的sin(nx)项就是我们要用到的周期/频率不同的正弦波，前面就是各项的叠加系数。那么我们看看参与叠加的前三项是什么样子：
第一项：
第二项：
第三项：
单这么看可能还是看不出什么名堂。那么我们把这三项加起来看看总的函数是什么样子呢
这趋势是不是已经有点像我们要的锯齿波了？当然我只叠加了三项，所以看上去很粗糙。我们再按照公式来个加个叠加十项的：
更像了是罢。还不满意？来十六项：
再往上加会更精细更接近，不过我画图用的几何画板只能写到十六项这么多……总之我相信大家应该明白这意思了——只要参与叠加的波数量足够，按一定的叠加系数总能得到我们想要的周期性波形，或者说任意一种周期性波形都是各种频率/周期不同的正弦波的叠加
回过头来我们以这个例子观察一下。我们发现：参与叠加的第一项，即波长最长/周期最大/频率最低的那一项的波长/周期/频率和我们的目标波形是一致的（因声波在同种介质中波速相等）。各位理工吧友从傅里叶系数的公式可以很自然地发现这一结论。之前我也说过，第一项其实就对应着振动模式中基频那一项，也就是说：基频的频率和实际波形的频率一致。那么我们一开始说的“音高取决于发声体振动频率”和后来说的“音高取决于发声体振动的基频频率”虽然采用的对象不同，但它们是完全等价的描述，互不矛盾。当然，目标波形一般要是周期性波，没什么周期性特点的，我估计也就不是我们要研究的“乐音”了罢
再有就是基频的振幅最大，各泛频的振幅依次减小，从这个例子也可以很明显地看出来。当然换个波形，也会是一样的道理
（注：声波是纵波，而我在这里用类似横波的表示只是为了显示声波介质某时刻上各质点的位移随位置的分布，而非实际形状。用这种方法表示只是为了更直观） |
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