{做好事}乐理科普：转载《理科生聊乐理》系列贴

CCouQPvx · 发表于 2024-11-11 18:36:13

分音列
发声体有各种频率不同的振动模式，那么各种振动模式对应的频率也就有对应的音。把基音和各个泛音列在乐谱上组成的音列，就是分音列
分音列中各音也就有了自己的名字：即第一分音（基音）、第二分音（第一泛音）、第三分音（第二泛音）……依此类推
那么要把这些音列在乐谱上，自然先要知道它们的音高才是。我们先从各音的频率上入手：之前我们在弦振动的分析出已经推导出，对于一长为l的均匀弦，其第n种振动模式（即对应第n分音）的频率为na/2l，其中a是弦上的波速，与弦本身的性质有关。也就是说第n分音的频率为基音的n倍。
那么我们有什么办法听出这些不同频率的音呢？
当然，首先我们要定下一个基音，基音定好后，我们要找到频率为它的2、3、4……倍的音。如何听出这些音？
方法一：练神耳。估计有很多练耳功夫很牛的人是有能力把乐器发声时一些泛音听出来的。但是这招……恐怕不适合大众。至少我这个外行理科生做不到。这法子就先Pass
方法二：利用弦。我们再观察先弦振动频率的表达式——它除了与第n分音的n取值成正比，还和弦长l成反比。可想而知，半根弦长基音的频率就是原弦长基音的2倍，三分之一根弦长频率就是3倍……所以我们找根琴弦，弹一下整条弦，听到的就是基音；捂住半根弹，就是第一泛音（第二分音）；捂住三分之二弹就是第二泛音（第三分音）……（其实人们对泛音的认识也是很早的，那时候人们当然不会用什么偏微分方程求驻波解，他们用的就是用整数分割弦长后的音高来认识的）
当然关于这一点还有另一种理解方式：我们再看看弦各个振动模式的示意图，即第n个振动模式为有n个波腹的驻波——其实这就可以看作是n个长为l/n的弦首尾相接的样子，每部分发出的就是自己的基音。其实这也就是把基音说成是“整部分振动”，泛音是“分部分振动”的意义所在了——第n分音就相当于是弦的1/n部分的振动嘛
方法三：软件加速播放。也许很多人都听过一些声音被加速播放的效果，大家有没有发现，它在节奏变快的同时，音调也变高了？其实很好想象，显然声音被加速n倍播放时，声音的频率也乘了n倍。那么利用这一点，找一个固定音，用支持加速播放的软件播放一下作为基音，2倍播放就相当于是第一泛音，3倍是第二泛音……

CCouQPvx · 发表于 2024-11-11 18:36:29

以上为连载一

CCouQPvx · 发表于 2024-11-11 18:37:29

【理科生聊乐理二】三大律制简析（上）
本章前言
写这章的原因同样是基于各位吧友提出的一些关于律制的问题。不过这次的文章还有一个目的就是续一下上一篇的尾……因为上一篇在最后讲分音列的时候提到了一小点律制的东西。其实一般来说，讲完音的产生和性质以后再讲音乐中音高的制定也是很自然的事情，大多数乐理书一般也是这样编排的。不过呢，这部分应该也不是考试重点……考试肯定没有让推不同律制的频率比和音分的（乐理考试用计算器感觉会很奇怪罢……）。而且对乐理掌握得不错的吧友估计律制也是学得很明白的，所以这文恐怕也就是个续尾+凑数了
另外我又犯了啰哩八嗦的毛病，写了半截发现太长了（具体涉及了很多计算，反正是考试绝对不会考的东西，吧友们当课外阅读看看罢……），于是我干脆把本文分为上、下来写，希望这样的篇幅安排大家能接受……
注：本文会涉及较多音程、和弦、调式之类的概念，所以不适合初学乐理的同学阅读。在乐理已经大致学了以后对律制有兴趣者可以参考本文。同时对基音泛音分音列的知识务必要有些了解（不太了解的可以参考我写的上一篇，链接见一楼）。以及，对律学有所了解的同学应该知道律学是要用各种频率比来制定音高的东西，本文也会涉及不少的相关计算，对数学基础不是很扎实的吧友可能“高能”的部分会比较多（不过说实话远没有第一篇的偏微分方程高能……），大家同样挑自己能接受的看罢……另外标题写的是“简析”，毕竟律学也是个博大精深的东西，我也说不了太深，甚至可能我写的这点东西都会有错误的地方……如果有问题还望吧里的专业人士多多指正……
另：前几天看到吧友分享了一篇文章：《写给理工科人看的乐理》中的第三篇，写了关于五度相生律的内容。这系列文章的作者是个程序员，用的就是理工科人的思维来讲授乐理知识。不过这些文受众是乐理0基础的理工科人，所以不会像我这样上来就涉及一堆基础乐理已有的名词。总得来说写得还是很不错的，我就把链接发上来，供感兴趣的吧友参考罢：http://www.cnblogs.com/devymex/p/3385179.html （这个链接只是第一篇的，其他的也可以在作者的博客中找到，页面上就有链接）

CCouQPvx · 发表于 2024-11-11 18:37:36

概述
前言有提到一句，律制这个东西就是为了在音乐中制定音高的。大家也都知道决定音高的是振动频率，所以律制就是要把各个音的音高用振动频率严格定义出来。把音高量化，也就是律制的制定，自然是要用到数理方面的内容，专门研究这方面内容的学科就是律学。当然过去的人肯定没有测量频率那么精准的仪器，往往就是用管长，弦长这些东西代替了。上一篇我也说过二者是有数学上的对应关系的所以意义一样。根据不同的目的和需要，历史上也出现过各种不同的律制，其中占主要地位的“三大律制”也就是我们书上讲的十二平均律、五度相生律和纯律了。不过一般的乐理教材篇幅有限，不会讲得太多，因为不是考试重点。本文的主要目的就是以我力所能及的程度来把这几个律制的制定、特点和关系来详细叙述一下。水平有限，所以也只能叫“简析”了……

CCouQPvx · 发表于 2024-11-11 18:38:28

（西方）五度相生律：
西方的五度相生律应该是由毕达哥拉斯发展起来的（大部分人都应该知道这位古希腊数学家罢）。其生律要素主要就是纯五度和纯八度。即从基准音（令其为C）开始，连续向上和向下两个方向推纯五度而生律，向上则每生一音，频率都变为原来的3/2，向下生则每一音都是上一音频率的2/3。另外如果连续推纯五度的话，不免会出现跨八度的情况。对于跨八度的音我们就再移n个纯八度，让它和C在同一个八度内。按此规则推出的音用现代的音名标记，顺序如下：
♭G-♭D-♭A-♭E-♭B-F-C-G-D-A-E-B
C右边的音是上推纯五度的结果，左边则是下推的结果。那么它们的频率和基准音C的频率可以用定律的规则计算出来

剩下的也是按照相同的规律，我也就不细讲了，直接把推出的频率在同一个八度内开列如下（第一行为音名，第二行为与C的频率比，第三行为对应的音分值，第四行为生律的次序，向上为正，向下为负）：

（维基百科上也有个五度相生律各音的频率公式：

其中n是生律次序，那个缺了上一半的方括号为向下取整函数。只是一种总结，看看就好）
可以看出，相邻两音的音差有两种，一种是C和降D的90音分，一种是降D和D这样的114音分（两者相差24音分，下面会看到这个数字将屡屡出现）

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